Sparse implicitization by interpolation: Characterizing non-exactness and an application to computing discriminants

We revisit implicitization by interpolation in order to examine its properties in the context of sparse elimination theory. Based on the computation of a superset of the implicit support, implicitization is reduced to computing the nullspace of a numeric matrix. The approach is applicable to polynomial and rational parameterizations of curves and (hyper)surfaces of any dimension, including the case of parameterizations with base points. Our support prediction is based on sparse (or toric) resultant theory, in order to exploit the sparsity of the input and the output. Our method may yield a multiple of the implicit equation: we characterize and quantify this situation by relating the nullspace dimension to the predicted support and its geometry. In this case, we obtain more than one multiples of the implicit equation; the latter can be obtained via multivariate polynomial gcd (or factoring). All of the above techniques extend to the case of approximate computation, thus yielding a method of sparse approximate implicitization, which is important in tackling larger problems. We discuss our publicly available Maple implementation through several examples, including the benchmark of bicubic surface. For a novel application, we focus on computing the discriminant of a multivariate polynomial, which characterizes the existence of multiple roots and generalizes the resultant of a polynomial system. This yields an efficient, output-sensitive algorithm for computing the discriminant polynomial

Implicitization of curves and (hyper)surfaces using predicted support

We reduce implicitization of rational planar parametric curves and (hyper)surfaces to linear algebra, by interpolating the coefficients of the implicit equation. For predicting the implicit support, we focus on methods that exploit input and output structure in the sense of sparse (or toric) elimination theory, namely by computing the Newton polytope of the implicit polynomial, via sparse resultant theory. Our algorithm works even in the presence of base points but, in this case, the implicit equation shall be obtained as a factor of the produced polynomial. We implement our methods on Maple, and some on Matlab as well, and study their numerical stability and efficiency on several classes of curves and surfaces. We apply our approach to approximate implicitization, and quantify the accuracy of the approximate output, which turns out to be satisfactory on all tested examples; we also relate our measures to Hausdorff distance. In building a square or rectangular matrix, an important issue is (over)sampling the given curve or surface: we conclude that unitary complexes offer the best tradeoff between speed and accuracy when numerical methods are employed, namely SVD, whereas for exact kernel computation random integers is the method of choice. We compare our prototype to existing software and find that it is rather competitive

The intersection problems of parametric curve and surfaces by means of matrix based implicit representations

In this paper, we introduce and study a new implicit representation of parametric curves and parametric surfaces . We show how these representations which we will call the matrix implied, establish a bridge between geometry and linear algebra, thus opening the possibility of a more robust digital processing. The contribution of this approach is discussed and illustrated on important issues of geometric modeling and Computer Aided Geometric Design (CAGD) : The curve/curve, urve/surface and surface/surface intersection problems, the point-on-curve and inversion problems, the computation of singularities points

The surface/surface intersection problem by means of matrix based representations

International audienceEvaluating the intersection of two rational parameterized algebraic surfaces is an important problem in solid modeling. In this paper, we make use of some generalized matrix based representations of parameterized surfaces in order to represent the intersection curve of two such surfaces as the zero set of a matrix determinant. As a consequence, we extend to a dramatically larger class of rational parameterized surfaces, the applicability of a general approach to the surface/surface intersection problem due to J.~Canny and D.~Manocha. In this way, we obtain compact and efficient representations of intersection curves allowing to reduce some geometric operations on such curves to matrix operations using results from linear algebra

Matrix-based Implicit Representations of Rational Algebraic Curves and Applications

Given a parameterization of an algebraic rational curve in a projective space of arbitrary dimension, we introduce and study a new implicit representation of this curve which consists in the locus where the rank of a single matrix drops. Then, we illustrate the advantages of this representation by addressing several important problems of Computer Aided Geometric Design: The point-on-curve and inversion problems, the computation of singularities and the calculation of the intersection between two rational curves. 1

Représentation matricielle implicite de courbes et surfaces algébriques et applications

In this thesis, we introduce and study a new implicit representation of rational curves of arbitrary dimensions and propose an implicit representation of rational hypersurfaces. Then, we illustrate the advantages of this matrix representation by addressing several important problems of Computer Aided Geometric Design (CAGD): The curve/curve,curve/surface and surface/surface intersection problems, the point-on-curve and inversion problems, the computation of singularities of rational curves. We also develop some symbolic/numeric algorithms to manipulate these new representations for example: the algorithm for extracting the regular part of a non square pencil of univariate polynomial matrices and bivariate polynomial matrices. In the appendix of this thesis work we present an implementation of these methods in the computer algebra systems Mathemagix and Maple. In the last chapter, we describe an algorithm which, given a set of univariate polynomials f1 , ..., fs returns a set of polynomials u1 , ..., us with prescribed degree-bounds such that the degree of gcd(f1 + u1 , ..., fs + us ) is bounded below by a given degree assuming some genericity hypothesis.Dans cette thèse, nous introduisons et étudions une nouvelle représentation implicite des hypersurfaces rationelles et des courbes rationnelles plongées dans un espace projectif de dimension arbitraire. Nous illustrons les avantages de cette représentation matricielle en abordant plusieurs problèmes importants intervenant en conception géométriqueassistée par ordinateur: les problèmes d'intersection entre deux courbes, entre une courbe et une surface ou bien encore entre deux surfaces, le problème d'appartenance d'un point à une courbe ou une surface, le problème du calcul de la pré-image d'un point donné par une paramétrisation et enfin le problème du calcul des singularités d'une courbe rationnelle. L'approche développée dans ce travail de thèse est basée sur la combinaison de méthodes symboliques et numériques. En effet, un première étape symbolique consiste à transformer le problème considérer en un pinceau de matrices. La deuxième étape consiste alors à calculer les valeurs propres généralisées de ce pinceau à l'aide de méthodes numériques. Pour cela, un algorithme d'extraction de la partie régulière d'un pinceau univarié, respectivement bivarié, de matrices non carrées est présenté. Une implémentation de ces travaux dans les systèmes de calcul formel Mathemagix et Maple est présentée en appendice. Le dernier chapitre est conscré à un algorithme qui, étant donné un ensemble de polynômes univariés f1 , ..., fs construit un ensemble de polynômes u1 , ..., us dont les degrés sont prescrits, tels que le degré du pgcd(f1 + u1 , ..., fs + us ) est supérieur ou égal à un entier donné sous des hypothèses de généricité

Représentation matricielle implicite de courbes et surfaces algébriques et applications

In this thesis, we introduce and study a new implicit representation of rational curves of arbitrary dimensions and propose an implicit representation of rational hypersurfaces. Then, we illustrate the advantages of this matrix representation by addressing several important problems of Computer Aided Geometric Design (CAGD): The curve/curve,curve/surface and surface/surface intersection problems, the point-on-curve and inversion problems, the computation of singularities of rational curves. We also develop some symbolic/numeric algorithms to manipulate these new representations for example: the algorithm for extracting the regular part of a non square pencil of univariate polynomial matrices and bivariate polynomial matrices. In the appendix of this thesis work we present an implementation of these methods in the computer algebra systems Mathemagix and Maple. In the last chapter, we describe an algorithm which, given a set of univariate polynomials f1 , ..., fs returns a set of polynomials u1 , ..., us with prescribed degree-bounds such that the degree of gcd(f1 + u1 , ..., fs + us ) is bounded below by a given degree assuming some genericity hypothesis.Dans cette thèse, nous introduisons et étudions une nouvelle représentation implicite des hypersurfaces rationelles et des courbes rationnelles plongées dans un espace projectif de dimension arbitraire. Nous illustrons les avantages de cette représentation matricielle en abordant plusieurs problèmes importants intervenant en conception géométriqueassistée par ordinateur: les problèmes d'intersection entre deux courbes, entre une courbe et une surface ou bien encore entre deux surfaces, le problème d'appartenance d'un point à une courbe ou une surface, le problème du calcul de la pré-image d'un point donné par une paramétrisation et enfin le problème du calcul des singularités d'une courbe rationnelle. L'approche développée dans ce travail de thèse est basée sur la combinaison de méthodes symboliques et numériques. En effet, un première étape symbolique consiste à transformer le problème considérer en un pinceau de matrices. La deuxième étape consiste alors à calculer les valeurs propres généralisées de ce pinceau à l'aide de méthodes numériques. Pour cela, un algorithme d'extraction de la partie régulière d'un pinceau univarié, respectivement bivarié, de matrices non carrées est présenté. Une implémentation de ces travaux dans les systèmes de calcul formel Mathemagix et Maple est présentée en appendice. Le dernier chapitre est conscré à un algorithme qui, étant donné un ensemble de polynômes univariés f1 , ..., fs construit un ensemble de polynômes u1 , ..., us dont les degrés sont prescrits, tels que le degré du pgcd(f1 + u1 , ..., fs + us ) est supérieur ou égal à un entier donné sous des hypothèses de généricité

Représentation matricielle implicite de courbes et surfaces algébriques et applications

Dans cette thèse, nous introduisons et étudions une nouvelle représentation implicite des hypersurfaces rationnelles plongées dans un espace projectif de dimension arbitraire. Nous illustrons les avantages de cette représentation matricielle en abordant plusieurs problèmes importants intervenant en conception géométrique assistée par ordinateur : les problèmes d intersection entre deux courbes, entre une courbe et une surface ou bien encore entre deux surfaces, le problème d appartenance d une point à une courbe ou une surface, le problème du calcul de la pré-image d un point donné par une paramétrisation et enfin le problème du calcul des singularités d une courbe rationnelle. L approche développée dans ce travail de thèse est basée sur la combinaison de méthodes symboliques et numériques. En effet, une première étape symbolique consiste à transformer le problème considéré en un réseau de matrices. La deuxième étape consiste alors à calculer les valeurs propres généralisées de ce pinceau à l aide de méthodes numériques. Pour cela, un algorithme d extraction de la partie régulière d un pinceau univarié, respectivement bivarié, de matrices non carrées est présenté. Une implémentation de ces travaux dans les systèmes de calcul formel Mathemagix et Maple est présentée en appendice. Le dernier chapitre est consacré à un algorithme qui, étant donné un ensemble de polynômes univariés , s construit un ensemble de polynômes U , , Us dont les degrés sont prescrits, tels que le degré du pgcd ( + U , , s + Us) est supérieur ou égal à un entier donné sous des hypothèses de généricité.In this thesis, we introduce and study a new implicit representation of rational curves of arbitrary dimensions and propose an implicit representation of rational hypersurfaces. The, we illustrate the advantages of this matrix representation by addressing several important problems of Computer Aided Geometric Design (CAGD) : the curve/curve, curve/surface and surface/surface intersection problems, the point-on-curve and inversion problems, the computation of singularities of rational curves. We also develop some symbolic/numeric algorithms to manipulate these new representations for example : the algorithm for extracting the regular part of a non square pencil of univariate polynomial matrices and bivariate polynomial matrices. In the appendix of this thesis work we present an implementation of these methods in the computeur algebra systems Mathemagix and Maple. In th last chapter, we describe an algorithm which, given a set of univariate polynomials , s returns a set of polynomials U , , Us with prescribed degree-bounds such that the degree of gcd ( + U , , s + Us) is bounded below by a given degree assuming some genericity hypothesis.NICE-BU Sciences (060882101) / SudocSudocFranceF